Математическое образование

Математика конечных количеств – логическая основа гармонизации базового образования.

1.Конечные количества и математические объекты, связанные с ними.
Реформа математического образования начинается со школы начального развития (детский сад) и продолжается в начальной и средней школе. Поэтому, важно не только определить форму математического образования в школе начального развития, но и определить ее роль в базовом образовании. Покажем в этой работе также основные математические объекты и выясним их предназначение в школе начального развития.
Множество, содержащее конечное число элементов, назовем конечным множеством. Конечное множество, в котором тем или иным способом введено отношение однородности (одинаковости) между элементами, называется конечным однородным множеством или конечным количеством. Элементы конечного количества называются единичными элементами.
Понятно, что понятие конечного количества является относительным. Множество, являющееся конечным количеством с одной точки зрения, может не быть конечным количеством с другой точки зрения. Примерами конечных количеств являются: геометрическая фигура , составленная из одинаковых фигур , множество звуков и т.д.
Роль конечного количества в базовом образовании фундаментальна: Прежде чем начальная школа начнет работать с натуральными числами в знаковой форме, школа начального развития должна рассмотреть конечные количества и объекты, связанные с ними.
Представляя объекты, связанные с конечными количествами, мы не только закладываем фундамент непрерывного математического образования, но и показываем прикладной смысл указанных объектов. В результате такого рассмотрения, выстраивается четкая логика в развитии математического знания и становится понятным неформальный смысл математических объектов.
Связь конечных количеств становится вторым объектом, связанным с конечным количеством. Такая связь создает координацию между конечными количествами и закладывает базу для математического объекта – функции и функционального мышления. Впервые базовые навыки функционального мышления появляются при сравнении двух конечных количеств, когда принцип координации реализуется образованием пар. Одинаковые между собой конечные количества приводят нас к мощности конечного количества (то общее что содержится в одинаковых по величине конечных количествах) и это формирует у ребенка представление о натуральном числе, как о математическом объекте, отражающем однородность конечных количеств.
Уже в процессе координации выясняется отношение равенства и неравенства. Кроме того, с помощью координации также выясняется и мера связи между конечными количествами (во сколько раз одно конечное количество больше другого). Появляется, кроме меры величины не только новый инструмент – «отношение» , но и сама мера приобретает новую видовую форму – мера связи (размерность).
Изменение конечного количества становится третьим объектом, связанным с конечным количеством. Изменение показывает накопление конечного количества и закладывает базу для операционного мышления. Изменение проявляется в виде соединения единичных объектов. Мы узнаем о том что некоторые конечные количества могут быть представимы соединением только единичных объектов и такие конечные количества называются простыми. В отличие от простых, другие конечные количества могут быть построены соединениями равных объектов, отличных от единичных, и называются сложными или сложенными.
При выстраивании логики развития сложности мы встречаемся еще с одной видовой формой меры – мерой движения, которая характеризуется степенью. Кроме того, возникает и координация движений конечных количеств. Указанные моменты позволяют системно изучать алгебру в школе начального развития на базе конечных количеств.
Вслед за изменением следует строение (когда конечное количество раскладывается по базовым количествам, имеющим разную степень сложности). В результате такого представления конечного количества, мы встречаемся с коэффициентом разложения – цифрой, причем в досимволическом виде. Набор таких коэффициентов разложения представляет новую видовую форму меры – меры организации. Это позволяет совершать арифметические операции над структурированными конечными количествами и узнавать величину нового конечного количества не непосредственно, а опосредованно. Игровые формы, структурирующие конечные количества, позволяют ребенку, считающему только до 10, совершать 4 арифметические операции над конечными количествами в пределах миллиона уже в школе начального развития (спроектированный автором математический конструктор «Золото Буратино»).
За строением конечного количества следует конструирование заданной формы из простых количеств, которые имеют разный уровень организации. Выясняется, что некоторые степени конечного количества не всегда можно построить. Это означает появление иррациональных конечных количеств (неконструируемых), которые предвосхищают появление иррациональных чисел. С помощью процесса конструирования изучается теорема Пифагора и другие проблемы геометрии. Кроме того, конструирование связано с процессом алгоритмизации и потому появляется новый математический объект – алгоритм.
Конструирование конечных количеств при заданных ограничениях(управление величиной конечного количества) позволяет изучать методы оптимизации (дискретная математика) уже на образном уровне. Построение объекта за минимальное число шагов не только развивает комбинаторное мышление, но и дисциплинирует мышление в целом.
Наконец, конечные количества можно систематизировать, показывая в последовательности диалектику формы конечного количества. Такой подход создает новый объект – систему и системный анализ можно проводить уже в школе начального развития.
Теперь перечислим математические объекты в системном виде: число – функция – операция – структурная форма – алгоритм- дерево развития. Начиная с конечных количеств, мы качественно развиваем эти понятия и создаем единую картину развития математического знания. Теперь покажем прикладное значение указанных математических объектов в школе начального развития.
 
2.Прикладной смысл основных математических объектов в школе начального развития.
Поскольку некоторые геометрические фигуры можно представить конечным количеством, полученным с помощью единичных элементов, то уже натуральным числом можно выражать длину, площадь и объем, а значит изучать метрические свойства геометрических фигур уже в школе начального развития. С помощью величины количества можно решать усложняющиеся экономические задачи при игре в магазин и при использовании авторских конструкторов, не допускающих символических форм.
Идея координат находит свое приложение в отношении «звук – цвет», которое дает возможность изображать музыкальные фразы цветовыми формами. Подобные цветовые ноты помогают развить музыкальный слух и научить ребенка игре на простейших музыкальных инструментах. Другое отношение «звук – рисунок» позволяет определить образные буквы и слоги в словах «а – ку – ла» , «ку – ни – ца» и собирать рисунок, используя «образ – слог». Можно привести еще много примеров координаций качеств, развивающих навыки по лепке и рисованию.
Движение и изображение его последовательностью дает возможность создания видеоряда, в котором каждый образ конструируется координатно, и такая последовательность служит иллюстрацией к сказке или стихотворению.
Одним из примеров такого движения является представление рисунка развивающейся графической структурой. Каким бы сложным ни был рисунок, но представляя его в форме последовательности, в которой на каждом шагу добавляется только один графический элемент, мы создаем инструмент, который способен научить рисовать любого ребенка. На том примере видно, что движение выражает не только изменение величины конечного количества.
Таким образом , математика конечных количеств становится прикладной математикой, способствующей гармонизации базового образования. Кроме этой функции, математика конечных количеств играет значительно более серьезное значение – она формирует логическое мышление на базе количественного. Чтобы понять, как развивается логическое мышление в виде качественного перехода от одной видовой формы к другой, сформулируем содержание логического мышление и представим его видовые формы.
Содержанием логического мышления называется способность логически отражать качество содержания объекта. Видовые формы логического мышления определяются качеством содержания и могут быть записаны в виде последовательности: метрическое – топологическое – аналитическое – структурное – алгоритмическое – системное. Мы не будем останавливаться на раскрытии содержания каждой формы, поскольку это предмет отдельной статьи. Покажем лишь, как все эти формы мышления зарождаются в количественном мышлении.
Метрическое мышление выражает способность логически отражать однородность содержания и потому зарождается в способности отражать однородность конечных количеств по величине, что приводит к понятию натурального числа. Таким образом, натуральное число становится основой формирования метрического мышления. При этом сам объект – натуральное число в школе начального развития представляется только на образном уровне.
Топологическое мышление выражает способность логически отражать связность содержания и потому зарождается в способности отражать связность конечных количеств по величине, что приводит к понятию связи между натуральными числами и эта связь изображается натуральным соответствием (соответствие между конечными количествами, начиная с равных количеств). Таким образом, натуральное соответствие становится основой формирования топологического мышления. При этом сам объект – натуральное соответствие в школе начального развития представляется только на образном уровне.
Аналитическое мышление выражает способность логически отражать сложность содержания и потому зарождается в способности отражать сложность конечных количеств по величине, что приводит к понятию изменения натурального число по величине и это изменение изображается натуральной последовательностью (начиная с последовательности, которая представляет соединение равных количеств). Таким образом, натуральная переменная величина становится основой формирования аналитического мышления. При этом сам объект – натуральная переменная величина в школе начального развития представляется только на образном уровне.
Структурное мышление выражает способность логически отражать иерархичность сложности содержания и потому зарождается в способности отражать иерархичность сложности конечных количеств по величине, что приводит к понятию разложения натурального числа по разрядным единицам и это разложение изображается цифровой формой, в которой форма представлена упорядоченным набором цифр (начиная с разложения натурального числа по двоичным разрядам). Таким образом, форма натурального числа становится основой формирования структурного мышления. При этом сам объект – форма натурального числа (содержащая упорядоченный набор цифр) в школе начального развития представляется только на образном уровне.
Алгоритмическое мышление выражает способность логически отражать конструктивность содержания и потому зарождается в способности отражать конструктивность конечного количества в заданной форме, что приводит к понятию алгоритма конструирования формы натурального числа и этот алгоритм представляет возможность придания данной формы конечному количеству (начиная с представления конечного количества прямоугольником и пониманию простого и сложного числа). Таким образом, алгоритм проектирования формы для конечного количества становится основой формирования алгоритмического мышления. При этом сам объект – алгоритм в школе начального развития представляется только на образном уровне.
Системное мышление выражает способность логически отражать логику развития качества содержания и потому зарождается в способности отражать логику развития конечного количества, как дерево развития, что приводит к понятию дерева натуральных чисел и это дерево представляет возможность систематизации натуральных чисел (начиная с представления простого количества началом ветки развития). Таким образом, система развития конечного количества становится основой формирования системного мышления. При этом, сам объект – дерево развития, в школе начального развития представляется только на образном уровне.
Мы видим, что школа начального развития представляет действительно фундамент непрерывного образования, в котором математика конечных количеств становится логическим стержнем.
 
Выводы:
1. Математическое образование школы начального развития не только не ограничивается счетом, но становится фундаментом математического образования в целом.
2. Математическое образование школы начального развития является логическим инструментом гармонизации базового образования.
3. Математика конечных количеств, изучаемая в школе начального развития, формирует логическое мышление, которое затем развивает начальная, средняя, и высшая школы.